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© 2001 - Stéphane PAJOT   [ Percolation et économie ]

1.1  Définition de la percolation

Pour aborder le concept de percolation (§ 1.1.2), quelques exemples concrets sont tout d'abord proposés (§ 1.1.1).

1.1.1  Exemples

En partant du masque à gaz pour finir par le mélange de deux poudres, la diversité des domaines dont sont issus les exemples présentés illustre le caractère pluridisciplinaire de la théorie de la percolation.

Le masque à gaz

L'un des premiers exemples historiques a été évoqué par S.R. BROADBENT pour la fabrication de masques à gaz (Hammersley, 1983-b, p. 49). Ces masques sont constitués par des granules de carbone poreux. Dans ces granules, les pores forment un réseau aléatoire de petits tunnels interconnectés. Si ces pores sont assez larges et suffisamment connectés, le gaz passe à travers le carbone. Au contraire, si les pores sont trop petits ou s'ils sont imparfaitement connectés, les émanations ne peuvent plus traverser le filtre ainsi formé. Par conséquent, l'efficacité du dispositif dépend d'un point critique qui est caractéristique du phénomène de percolation (Hammersley et Welsh, 1980, p. 593).

Dans cet exemple, la filtration est inactive en dessous du seuil critique, car le gaz peut traverser le masque, et elle devient active au dessus du seuil puisque le gaz ne peut plus le traverser.

Le café

« L'exemple étymologique » est celui du café (Lesne, 1996, p. 314). Le percolateur est une machine à café où la « force » du café désiré, se règle en serrant plus ou moins le filtre de l'appareil. Ainsi, lorsque l'on augmente la pression du filtre, la densité du marc de café s'accroît suite à l'agglomération des fines particules qui le compose. Le temps nécessaire pour que l'eau traverse la poudre de café et par suite la durée pendant laquelle l'eau est en contact avec le café dépendent de cette densité. L'expresso obtenu est alors plus ou moins « serré » selon la pression appliquée au café par le filtre du percolateur. Toutefois, il existe une densité au dessus de laquelle l'eau ne peut plus traverser le filtre. Cette densité est appelée « seuil de percolation ». Le problème consiste alors à décrire l'agglomération du marc de café en fonction de sa densité, puis de caractériser la propagation de l'eau au travers de ce milieu aléatoire inhomogène (Lesne, 1996, p. 315).

Ce phénomène peut se modéliser par un réseau de canaux entre les particules de café, canaux qui sont ouverts ou fermés de façon aléatoire (Zallen, 1983, pp. 9-11). Lorsque la densité augmente, le nombre de canaux fermés s'accroît et l'eau passe alors plus difficilement. Le seuil de percolation est atteint lorsque qu'il n'existe plus de chemins permettant l'écoulement de l'eau à travers les canaux ouverts.

De l'archipel au continent

Avec l'abaissement du niveau de la mer, le passage d'un archipel d'îles à un système continental offre un autre exemple de transition de percolation (De Gennes, 1976, p. 920). Un individu qui se trouve sur une des îles de la figure 1.1 (a), ne pouvant marcher que sur la terre ferme, est dans un premier temps confiné dans son île de départ.


Figure 1.1: Transition entre un archipel d'îles et un continent

(a) Îles indépendantes (b) Connexion de certaines îles (c) Continent
     
Source : De Gennes (1976), p. 920.

Au fur et à mesure que le niveau de la mer baisse, la taille des îles augmente et certaines s'unissent (figure 1.1 (b)). Ainsi, l'espace disponible pour notre piéton s'agrandit, mais demeure limité jusqu'au moment où le niveau de l'océan atteint une valeur critique (figure 1.1 (c)). Apparaît alors un continent avec de nombreux lacs, mais qui permet au voyageur d'aller arbitrairement loin de son point de départ sans avoir à traverser un bras de mer.

La transition ainsi effectuée entre un système d'îles et un continent est appelée « transition de percolation » et la valeur critique du niveau océanique réalisant l'apparition du continent correspond au seuil de percolation.

Réseau de communication

Pour illustrer le phénomène de percolation, de nombreux systèmes de circulation ou de transmission sont exposés dans la littérature. Prenons un réseau de communication formé de n stations, où chaque station est reliée avec ses voisines par des liens d'efficacité (p) aléatoire (Hammersley et Welsh, 1980, p. 594). Dans le cas d'un réseau téléphonique où toutes les stations sont connectées de proche en proche, on peut imaginer que par mauvais entretien (De Gennes, 1976, p. 920) ou par l'action d'un « saboteur stochastique » (Zallen, 1983, p. 4), une proportion (1 – p) des liens existants est détruite de manière aléatoire. De façon équivalente dans un réseau routier, on supposera par exemple que la neige (Sahimi, 1994, pp. 3-4) ou bien encore des « commandos anarchistes » (De Gennes, 1993, p. 744) bloquent aléatoirement la circulation dans une fraction (1 – p) des rues. Au fur et à mesure de la dégradation du réseau, il devient de plus en plus difficile de pouvoir correspondre ou se déplacer d'un point à un autre. Le trajet doit alors passer par des relais. À titre d'illustration, supposons que la frontière entre la France et l'Allemagne soit fermée, mais que leurs frontières respectives avec la Suisse soient ouvertes. Dans ces conditions, pour qu'une marchandise puisse aller de France en Allemagne, il est nécessaire de transiter par la Suisse qui sert alors de « relais ». Si d'autres frontières sont coupées de façon aléatoire, il devient de plus en plus complexe de trouver un chemin joignant les deux pays.

De façon générale dans des problèmes de ce type, le pourcentage de liaisons coupées augmentant, on atteint un certain seuil où, quel que soit le nombre de relais, il devient impossible de communiquer entre deux stations éloignées. La valeur pc associée au pourcentage critique de liaisons actives nécessaires pour que deux points quelconques soient reliés, est appelée « seuil de percolation » (De Gennes, 1976, p. 920). Interpréter ce problème de communication comme un phénomène de percolation consiste à évaluer la probabilité d'existence d'un ensemble de liens, autorisant la communication directe ou indirecte entre deux stations (Hammersley et Welsh, 1980, p. 594).

La transition sol-gel

La transition sol-gel trouve ses origines dans la physique des molécules. Elle agit par exemple dans la polymérisation, c'est-à-dire la fabrication d'une structure polymère à partir d'une solution de monomères (Frisch et Hammersley, 1963, p. 907). Les polymères sont de longues chaînes organiques (linéaires ou ramifiées) que l'on obtient en faisant varier un paramètre physique. Par condensation, on peut ainsi faire réagir des molécules porteuses de fonctions acides avec des molécules porteuses de fonctions alcools (figure 1.2) (De Gennes, 1976, p. 921).


Figure 1.2: Structure ramifiée

Source : De Gennes (1976), p. 924.

Le début de la réaction entraîne la formation de chaînes dont les formes sont multiples et complexes, mais toujours courtes. S'identifiant à des îles dans un océan, on parle d'« amas finis ». Au fur et à mesure de la gélification, les liens chimiques entre molécules voisines s'activent pour produire des amas de plus en plus larges. Lorsque la fraction p d'acide ayant réagi dépasse un certain seuil pc, il apparaît une macromolécule géante (amas infini) dont la taille n'est restreinte que par la taille du récipient. En d'autres termes, le mélange de molécules qui au départ était liquide (solution) devient une gelée résistante à la traction (gel), au passage du seuil de percolation (De Gennes, 1976, p. 922). Dans des solides élastiques mous, ce filet polymérique s'étend dans toutes les directions et retient les substances en solution. Il ne représente que quelques pour cent du volume total, mais il joue un rôle essentiel d'armature en autorisant de grandes déformations (Guyon et Roux, 1987, p. 1050).

La création de gels s'observe dans des systèmes biologiques comme par exemple l'humeur vitrée à l'intérieur du globe oculaire. Les gels ont aussi un rôle très important dans la chromatographie, la fabrication des colles, des cosmétiques et de certains aliments (Bunde et Havlin, 1991, p. 79). À titre d'illustration, les gelées de coings sont formées par « pontage » de longues chaînes de sucre, c'est-à-dire qu'elles s'associent entre elles pour former un gel (De Gennes, 1993, p. 749).

Le mélange de deux poudres

L'analyse de la conductivité électrique dans des systèmes désordonnés peut s'effectuer en étudiant le mélange de deux poudres : l'une isolante et l'autre conductrice (Kirkpatrick, 1973, p. 574). Les grains étant de petite taille, l'amalgame peut remplir de façon compacte un volume important. Le nombre de ces grains peut alors être considéré comme infini (Clerc et alii, 1983, p. 7). Dans un récipient, on mélange une fraction p de poudre conductrice et une fraction (1 – p) de poudre isolante. On étudie ensuite la percolation du mélange en mesurant sa conductivité électrique. Si la poudre conductrice ne représente qu'une faible part de l'amalgame, le mélange agit comme un isolant. Au contraire, si pour un même volume on ne met que très peu de poudre isolante, l'alliage est conducteur. Autrement dit, lorsque le spécimen est macroscopiquement conducteur, c'est qu'il existe un « continent » de grains conducteurs (De Gennes, 1993, p. 746). La séparation entre l'état isolant et l'état conducteur se fait pour une valeur précise du pourcentage de poudre conductrice. Notée pc, cette valeur déterministe correspond au seuil de percolation.





Malgré leurs différences, les illustrations exposées sont toutes modélisées par la percolation. Les caractéristiques communes qui ont été mises en évidence vont à présent être reprises de façon plus théorique pour définir le concept de percolation.

1.1.2  Concept de percolation

Le premier processus de percolation a été développé par P.J. FLORY (1941) et W.H. STOCKMAYER (1943) pour décrire la polymérisation de molécules ramifiées lors d'une transition sol-gel. Cependant, les deux auteurs n'ont développé leur théorie de gélification que pour un type de réseau particulier (le réseau de Bethe) dont la structure arborescente est infinie et sans boucle (voir § 1.2.1, p. ??). Dans le champ des mathématiques, l'étude de la percolation tire son origine d'une question posée en 1954 par S.R. BROADBENT sur l'utilisation des méthodes de Monte-Carlo pour analyser la pénétration d'un fluide ou d'un gaz, dans un labyrinthe formé de passages ouverts ou fermés (Hammersley, 1983-b, p. 48). La singularité du problème nécessitait une terminologie qui lui soit particulière. C'est la ressemblance du phénomène au mécanisme de la fabrication du café dans un percolateur qui poussa J.M. HAMMERSLEY à le baptiser du nom de « percolation ». En 1957, S.R. BROADBENT et J.M. HAMMERSLEY ont alors introduit le terme de percolation dans un article fondateur où ils définissent la percolation comme le modèle dual de celui de la diffusion1.

Le dual de la diffusion

Le processus de propagation aléatoire d'un fluide à travers un milieu se retrouve dans de nombreux phénomènes, les termes de fluide et de milieu s'adaptant au contexte (Broadbent et Hammersley, 1957, p. 629 ; Frisch et Hammersley, 1963, p. 894 ; Hammersley et Welsh, 1980, p. 593). Selon la nature du problème, le mécanisme d'aléa peut s'appliquer au fluide ou au milieu. Deux cas peuvent alors s'envisager (Tableau 1.1).


Table 1.1: Dualité des modèles de diffusion et de percolation

  Diffusion Percolation
Mouvement du fluide aléatoire déterministe
Structure du milieu déterministe aléatoire

Le premier cas qui est aussi le plus répandu, étudie le mouvement aléatoire d'un fluide dans un milieu déterministe. Cette première situation correspond au modèle de diffusion. Le modèle de percolation, au contraire, se définit par le mouvement déterministe d'un fluide à travers un milieu dont la structure est aléatoire. Ainsi, l'aléa ne se trouve plus dans le mouvement du fluide mais dans le milieu sur lequel, ou à travers lequel, il évolue. Dans ce sens, le modèle de percolation se définit comme le problème dual du modèle de diffusion.

La différence entre diffusion et percolation s'illustre par exemple, dans l'évolution d'une particule (le fluide) sur une droite (le milieu). Dans le cas de la diffusion, on parle d'une marche de Pólya (Polya walk) en dimension un. Dans ce modèle, une particule quitte l'origine en évoluant par « pas » de taille unitaire. Indépendamment de son histoire et quel que soit le nombre n de pas effectués, la particule a une probabilité identique (p = 1/2) d'aller à droite ou à gauche lors de son prochain mouvement. Lorsque n tend vers l'infini, la particule a ainsi une probabilité 1 de visiter chaque point de ce milieu de longueur infinie (Broadbent et Hammersley, 1957, p. 629). Dans le cas de la percolation, le mécanisme stochastique s'applique au milieu et plus à la particule. Typiquement, chaque point a indépendamment des autres, une probabilité identique (p = 1/2) d'être orienté vers la droite ou vers la gauche. La particule évolue par « pas » de taille un, en commençant à l'origine. La direction prise par la particule est déterminée par l'orientation du point où elle se trouve au début du mouvement. En ce sens, le mouvement de la particule est entièrement déterminé par la structure du milieu où elle évolue. Selon ce principe, la particule évolue dans une même direction jusqu'au moment où elle rencontre des points contigus ayant des orientations opposées. Arrivée dans cette situation, la particule commence alors à osciller. En conséquences, lorsque n tend vers l'infini dans le cas de la percolation, la particule ne visite qu'un nombre fini de points, avec probabilité 1 (Broadbent et Hammersley, 1957, p. 630).

De la sorte, le modèle de percolation derrière sa simplicité, engendre nettement plus de problèmes mathématiques que le modèle de diffusion (Kesten, 1987, p. 1232). La distinction entre diffusion et percolation n'est cependant pas irrévocable (Frisch et Hammersley, 1963, p. 894). Pour certaines situations, les modèles de percolation ou de diffusion s'appliquent à l'exclusion l'un de l'autre. Dans d'autres situations par contre, il est possible d'analyser le problème aussi bien du point de vue de la diffusion que de celui de la percolation (Broadbent et Hammersley, 1957, p. 630). Ainsi, le concept de percolation n'est pas le simple « dual » du modèle de diffusion.

Le problème de transmission

La percolation peut s'envisager comme un problème de transmission posé dans un milieu étendu où sont distribués régulièrement un grand nombre de « sites » susceptibles de relayer localement une information (Roussenq, 1992, p. 838). Le terme d'information est pris au sens large et il s'adapte selon le contexte où il est utilisé (propriété physique ou biologique, fluide, etc.). La communication entre les sites s'effectue par des liens d'efficacité aléatoire. Suivant que la proportion de liaisons actives est ou non supérieure à une valeur seuil (notée pc), il existe ou non la possibilité de transmettre une information à grande distance.

Dans cette description du concept de percolation, on retrouve des hypothèses fondamentales : À partir de ces hypothèses, la théorie de la percolation décrit l'apparition d'un phénomène critique au niveau global : au-dessous du seuil de percolation l'information est limitée à l'îlot où elle a été initiée, alors qu'au-dessus du seuil elle « percole » à travers le milieu étudié. Ce phénomène critique, récurrent dans les illustrations du § 1.1.1, est une des caractéristiques fondamentales de la percolation car ce type de comportement ne s'observe pas dans les modèles ordinaires de diffusion (Hammersley et Welsh, 1980, p. 593).

Cependant, le phénomène critique de percolation ne se limite pas au problème de transmission. Il peut également s'envisager en étudiant l'émergence de zones dont les éléments ont des propriétés identiques.

La question de l'émergence

Le terme de percolation s'associe à l'étude de milieux désordonnés binaires, dans lesquels une propriété locale peut se réaliser de deux façons codées 0 ou 1 (Lesne, 1996, p. 314). La structure à petite échelle est ainsi une imbrication de régions 0 ou 1, perçue comme aléatoire par un observateur macroscopique.

À titre d'exemple, on peut étudier un système constitué de deux espèces N et B. Selon la proportion respective de ces deux espèces, on observe pour un espace donné, l'émergence d'une mosaïque de zones N et de zones B. Dans les figures ci-dessous, les individus de chaque espèce ont été placés de façon aléatoire dans l'espace.


Figure 1.3: Mosaïque des territoires de deux populations en fonction de leur proportion respective

(a) blanc : 30 % ; noir : 70 % (b) blanc : 50 % ; noir : 50 % (c) blanc : 70 % ; noir : 30 %
     

Sur les figures 1.3 (a), (b) et (c), l'espèce B en blanc représente respectivement 30 %, 50 % et 70 % de la population totale, le reste correspondant à l'espèce N en noir. On constate que la forme, la taille et le nombre de régions pour chacune des deux espèces, varient selon la proportion qu'elles représentent dans la population totale. L'étude de la distribution et des propriétés structurelles de ces régions peuplées d'individus N ou B appartient également à la théorie de la percolation.





De façon générale, le modèle de percolation s'intéresse à des désordres binaires. Il permet de rendre compte de l'état d'un phénomène ou d'un système composé de multiples éléments aux relations ou aux caractéristiques hétérogènes. La théorie de la percolation fait partie de la famille des transitions de phase, c'est-à-dire que le passage d'une phase à l'autre s'obtient en modifiant de façon continue la valeur d'un paramètre. Chaque phase correspond à une situation qualitative particulière déterminée par la présence ou l'absence d'un amas percolant. Le tableau 1.2 rassemble quelques applications de la percolation et les phases qui y sont associées2.


Table 1.2: Quelques applications de la théorie de la percolation

Phénomènes ou systèmes Phases
Flux de liquide dans un milieu poreux Humidité locale / étendue
Propagation de maladies dans une population Endiguement / épidémie
Communication ou réseau de résistances Déconnexion / connexion
Matériau composite conducteur-isolant Isolant / conducteur
Matériau composite conducteur-superconducteur Normal / superconducteur
Formation stochastique d'étoiles dans des spirales galactiques Non-propagation / propagation
Quark a dans les matières nucléaires Confinement / non-confinement
Transformation magnétique b Paramagnétique / ferromagnétique
Polymérisation d'un gel, vulcanisation Liquide / gel
Transition de glaciation Liquide / glace
Source : Zallen (1983), p. 7.
(a) Les quarks sont des entités élémentaires qui seraient à l'origine des hadrons, c'est-à-dire le proton, le neutron, le pion et toutes les autres particules participant aux interactions fortes.
(b) À la température de Curie, les moments magnétiques parallèles à une même direction (ferromagnétisme) s'orientent de façon aléatoire dans la structure (paramagnétisme).

Mis au point par les physiciens, le champ d'application de la percolation déborde largement le seul domaine de la physique. Ce modèle mathématique permet en effet la description de nombreux phénomènes physiques, biologiques ou sociologiques avec les mêmes outils géométriques et statistiques (Roussenq, 1992, p. 838). Cette polyvalence s'explique par l'originalité et la puissance du modèle de percolation. D'une part, le seuil de percolation est un archétype de transition de phase basé sur la richesse des interconnexions entre les éléments d'un système ; d'autre part, la théorie de la percolation offre un modèle intuitif et transparent pour rendre compte des désordres géométriques au sein de nombreux milieux hétérogènes (Zallen, 1983, p. 8). Dans un cadre plus formel, nous allons à présent détailler les modèles théoriques fondamentaux de la percolation.


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