Chapitre 1 Les concepts fondamentaux du modèle de percolation

Le terme "percolation" vient du latin percolatio qui signifie filtration. Utilisé dans un grand nombre de situations, il évoque les notions de propagation et d'agglutination dans des milieux aléatoires partiellement interconnectés. Pour mieux comprendre l'objet de la théorie, ce chapitre développe les principaux concepts du modèle de percolation. Dans ce sens, il débute en cherchant à illustrer et à définir la notion de percolation (section 1.1). Le travail se poursuit par l'exposé des modèles de base de la théorie (section 1.2), puis par un approfondissement de la notion de seuil de percolation (section 1.3). Le dernier point présente enfin, les caractéristiques statiques du modèle (section 1.4).

1: Broadbent S.R., Hammersley J.M., (1957), « Percolation Processes I. Crystals and Mazes », Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 53, n° 3, pp. 629-641.
2: Pour une présentation détaillée des applications les plus courantes de la théorie de la percolation dans des systèmes désordonnés binaires, voir notamment : Sahimi (1994), pp. 41-253.
3: On précise ici qu'il s'agit d'arêtes non orientées, en référence à la percolation dirigée où il existe une orientation sur chaque lien (voir § 2.3.2).
4: Le terme « connexité » est la traduction de l'anglais connectivity, le terme « connectivité » parfois utilisé étant un néologisme.
5: En anglais, simple cubic lattice pour réseau cubique simple, body centred cubic lattice pour réseau cubique centré et face centred cubic lattice pour réseau cubique faces centrées.
6: Les dénominations réseau nid d'abeille et réseau hexagonal sont équivalentes.
7: Fisher M.E., (1961), « Critical Probabilities for Cluster Size and Percolation Problems », Journal of Mathematical Physics, n° 2, pp. 620-627.
8: En anglais, susceptibility pour vulnérabilité et infectability pour virulence.
9: Le développement d'un micro-organisme exige qu'un certain nombre de facteurs (substances nutritives, facteurs de croissance) et de conditions physico-chimiques soient réunis. Tout facteur ou condition dont l'absence ou la modification arrête le développement est qualifié de « facteur limitant ».
10: Pour une comparaison des problèmes de sites et de liens, voir Kesten (1982), pp. 256-261.
11: La connexité moyenne d'un graphe correspond au nombre moyen de liens attachés à un site.
12: Sur la différence entre la « possibilité » ou la « certitude » de l'existence d'un amas percolant, voir la notion d'effet de taille finie du réseau § 1.3.2, p. ??.
13: C'est une des raisons pour lesquelles nous utiliserons généralement les modèles élémentaires de percolation de sites ou de liens dans le reste de ce travail, sauf pour des cas particuliers où le bénéfice des informations supplémentaires dépasse largement le coût de la complication engendrée.
14: Voir la notion de longueur de corrélation développée au § 1.3.2, p. ??.
15: La taille peut être exprimée par le nombre n de sites au bord du réseau ou le nombre de sites dans l'échantillon, ici N = n². La taille linéaire du réseau est indifféremment notée n ou L, la deuxième notation étant cependant plus courante dans la littérature.
16: Pour une présentation formelle de la notion de graphe périodique, voir Kesten (1982), pp. 10-16.
17: Le concept de tore sera repris et développé au § 3.1.4, p. ??.
18: Sur la notion de corrélation, voir § 1.4.1, p. ??, et sur les notions de loi d'échelle et d'exposant critique, voir § 1.4.2.
19: Des travaux récents mettent en évidence la progression des méthodes d'approximation du seuil de percolation. Une formule universelle pour l'estimation du seuil de percolation est proposée dans Galam et Mauger (1996 et 1997) (voir à ce propos le § 2.3.4, p. ??). De même, une méthode analytique d'approximation du seuil est proposée dans Rosowsky (2000).
20: La méthode de Monte-Carlo est la technique stochastique la plus utilisée pour résoudre des problèmes déterministes (algorithme de Metropolis). De manière générale, les méthodes numériques dites de Monte-Carlo s'associent aux mathématiques expérimentales qui concernent les nombres aléatoires (Hammersley et Handscomb, 1967, p. 2). Elle consiste à effectuer de nombreuses simulations puis à faire la moyenne sur l'ensemble des observations pouvant aller d'une seule à plusieurs millions selon le contexte. Autrement dit, les simulations permettent d'obtenir des informations sur le comportement typique du système étudié lorsqu'il est impossible de le déduire directement par le calcul, comme dans certains problèmes de percolation. Pour une approche introductive aux méthodes de Monte-Carlo, voir Computational Science Education Project, (1995), Introduction to Monte Carlo Methods, [en ligne], adresse URL http://csep1.phy.ornl.gov:80/ps_files/mc.ps (le 21/7/98), 30 p. Pour une présentation plus avancée voir Binder et Heermann (1997), ainsi que Lesne (1996), pp. 87-89.
21: Inventé par P.-G. DE GENNES, le modèle de fourmi dans un labyrinthe simulant la marche aléatoire sur un réseau de liens, permet d'étudier la diffusion à deux et trois dimensions dans un milieux poreux ou de déterminer l'exposant de la conductivité (De Gennes, 1976, pp. 925-926).
22: Pour une description de l'algorithme d'Hoshen-Kopelman, voir notamment : Lesne A., (1996), Méthode de renormalisation - Phénomènes critiques, chaos, structures fractales, Paris, Eyrolles Sciences, pp. 319-320, ainsi que Bunde A., Havlin S., (1991), « Percolation I », in Havlin S.,Bunde A. (eds), Fractals and Disordered Systems, Berlin, Springer-Verlag, pp. 83-84.
23: Sur la notion de self-similarité (ou autosimilarité), voir § 1.4.3.
24: De façon plus précise, il existe de nombreuses méthodes pour effectuer une renormalisation : méthode des « macro-sites », des « macro-liens », du « site fantôme », des « couplage effectifs », des «macro-cellules », numérique dite « small-cell », numérique dite « large-cell » et celle utilisant les lois d'échelles en taille finie (Lesne, 1996, pp. 325-331).
25: L'étude peut se faire sur les supersites, les super-supersites, etc. selon le nombre de renormalisations qui ont été effectuées.
26: Cette règle d'appartenance à un seul triangle conduit à l'existence d'un seul super-supersite sur la figure 1.33.
27: Voir notamment : Bunde et Havlin (1991), p. 53 ; Sahimi (1994), p. 11 ; Stauffer et Aharony (1992), p. 17.
28: Pour être exact, l'apparition d'un amas percolant n'est pas systématique, mais il existe une probabilité positive que le réseau soit conducteur (voir § 1.3.2, p. ??). Pour éviter la question de l'effet de taille finie, le réseau est supposé de taille infinie.
29: Pour une présentation complète de la démonstration voir Grimmett (1989), pp. 110-117.
30: Pour une présentation formelle de cette démonstration, voir Kesten (1982), pp. 46-51, ainsi que Smythe (1983), pp. 487-488.
31: Les nombres entre parenthèses font références aux étiquettes des équations.
32: Dans ce contexte, la notation p^s correspond à (p)^s c'est-à-dire p à la puissance s, ce qui est sans relation avec la probabilité p^s d'activité d'un site de la section 1.2.
33: Un animal (lattice animal) est un arrangement particulier de sites contigus sur un réseau. Si deux configurations sont identiques par symétrie ou à une rotation près, elles sont considérées différentes et correspondent chacune à un animal distinct. Au contraire, si deux configurations sont identiques à une translation près, elles sont considérées comme un seul animal. Les animaux sont également appelés « polyominos fixes ».
34: Redelmeier D.H., (1981), « Counting Polyominoes : Yet Another Attack », Discrete Mathematics, vol. 36, pp. 191-203.
35: Sur la notion de bras morts, voir le § 1.2.2, p. ??.
36: En anglais, pour qualifier les liens sensibles on parle de red bonds. Cette dénomination « red » provient du fait que sur les circuits électriques, la totalité du courant passe à travers ces liens sensibles qui dégagent en conséquence la plus forte température de l'épine dorsale (Sahimi, 1994, p. 14).
37: Pour deux fonctions f et g strictement positives, f » g signifie que (log f / log g ) ® 1 (Kesten, 1987, p. 1232). Sur la question de la validité des lois d'échelle, voir Grimmett (1989), pp. 148-149, ainsi que Kesten (1987), pp. 1238-1246.
38: Lorsque z = 2, le réseau de Bethe se réduit à une chaîne linéaire du type de la figure 1.31, p. ??.
39: Sur la notion de dimension critique en percolation, voir Toulouse (1974), Kirkpatrick (1976), ainsi que Sykes et alii (1976) (cités dans Bunde et Havlin, 1991, p. 67).
40: En anglais, scaling theory pour « théorie d'échelle », scaling relations pour « relations d'échelle » et hyperscaling relations pour « relations d'hyper-échelle ».
41: Kasteleyn P.W., Fortuin C.M., (1969), « Phase Transitions in Lattice Systems with Random Local Properties », Journal of the Physical Society of Japan, Proceedings of the International Conference on Statistical Mechanics 1968, vol. 26, Supplément, pp. 11-14.
42: Sur la validité des relations d'hyper-échelle, voir Grimmett (1989), pp. 151-154.
43: Mandelbrot B., (1975), Les objets fractals : Forme, hasard et dimension, Paris, Flammarion, 190 p.
44: Dans les faits, la notion de « dimension fractale » est employée pour désigner un grand nombre de dimensions. Chacune s'associe à des aspects distincts de l'objet fractal. Dans le cas d'une frontière par exemple, selon la méthode d'analyse de la dimension fractale on distingue la dimension de Hausdorf, celle de Kolmogorov et celle de Minkowski. La dimension fractale s'utilise également pour évoquer la dimension spectrale, la dimension de corrélation, la dimension d'information, la dimension de Sierpinski, les dimensions de distributions et les dimensions de surfaces. Pour une présentation de ces diverses notions, voir Gouyet (1992), ainsi que Warfel M., (1998), Fractals, [en ligne], adresse URL http://www.cee.cornell.edu/~mdw/fractal.html (le 23/9/98).
45: Le paragraphe concernant le calcul de la dimension fractale pour un segment, un carré et un cube, s'inspire d'un fichier d'extension (fractals.nb disponible en ligne sur http://www.mathsource.com) du logiciel Mathematica. L'auteur de ce fichier est B.H. MARSTON et le titre du document est Self Similar Fractals.
46: L'indice s fait référence à la notion de self-similarité.
47: La notion de « self-similarité » est parfois qualifiée d'« autosimilarité ». Voir par exemple Guyon et Roux (1987), p. 1052, ainsi que Gouyet (1992).
48: Pour une présentation formelle de la méthode dite de « coastline-of Britain-analysis », voir Frankhauser (1994), pp. 71-74.
49: Un carré peut parfois être compté alors qu'un seul pixel de la boîte fait partie de l'objet. Pour rendre le comptage plus visible sur les figures (a) et (b), une étoile (*) a été placée sur tous les carrés contenant au moins un pixel de la côte.
50: Sur la notion de distance chimique, voir § 1.4.2, p. ??.
51: Sur la notion de squelette (skeleton), voir Grimmett (1989), pp. 99-103.
52: L'indice B de D_B fait référence à l'anglais backbone.
53: L'indice red de D_red fait référence à l'anglais red bonds.
54: L'indice h de D_h fait référence à l'anglais hull.