Pour éliminer les effets de taille finie, les valeurs respectives de N et L sont supposées relativement importantes. Une électrode de taille N est placée sur la première et la dernière ligne du réseau. Un courant uniforme est ensuite appliqué au système à partir de ces électrodes.
La courbe en pointillé représente l'évolution schématique de la probabilité pour un site, d'appartenir à l'amas percolant selon le même protocole. Les deux courbes semblent avoir la même limite au seuil de percolation. Cependant, alors que la pente de la conductivité est nulle au point critique, la pente de la probabilité d'appartenance à l'amas percolant y est infinie. Cette divergence s'explique par les diverses sortes de liens qui composent le réseau2. La figure 2.3 représente un amas percolant au seuil, dans un réseau carré de liens.
Chaque lien représente une résistance. En appliquant une tension entre le haut et le bas de l'échantillon, plusieurs types de liens se distinguent. Une grande partie des liens ne charrie aucun courant, car ils n'aboutissent nulle part (De Gennes, 1976, p. 922). Ces chemins sans-issues sont les « bras morts » du réseau électrique. Une fois débarrassé de ces bras morts, il ne reste que les liens participant à la conduction du courant. Cette structure correspond à l'« épine dorsale » de l'amas percolant. Elle se compose de liens sensibles et de boucles, respectivement représentés en gras et en pointillé sur la figure 2.3. La suppression d'un lien situé sur une boucle de l'épine dorsale fait diminuer la quantité de courant traversant le réseau. La suppression d'un lien sensible, par contre, annule totalement le passage du courant dans le réseau, car dès lors il n'existe plus d'amas percolant conducteur.
S (L,x) = x– µ / n S(L/x) µ |
ì í î |
|
(2) |
Ii = |
|
(Vj – Vi) sij (4) |
La conductivité S des échantillons en dimension deux et trois, est représentée en fonction de leur taille L. Dans le premier cas (d = 2), deux formes géométriques différentes ont été analysées. Ces résultats confirment (3), c'est-à-dire la dépendance de S et L sous la forme d'une fonction puissance. Pour d = 2, l'exposant µ / n de cette relation de dépendance est estimé aux alentours de 0,975 et est de l'ordre de 2,3 pour d = 3.
Lorsque la proportion de sites ouverts dans le labyrinthe est inférieure au seuil de percolation (p < pc), il n'existe que des « îles ». La fourmi n'évolue au maximum que d'une longueur finie, la longueur de corrélation x, qui correspond à la taille des amas (De Gennes, 1976, p. 925). Le carré moyen du déplacement de la fourmi ne progresse pas au-delà de x2, au bout d'un certain temps caractéristique q (p). En d'autres termes, son déplacement Ö á R2 (t) ñ aux temps élevés, reste comparable à la taille de l'île sur laquelle est emprisonnée la fourmi (De Gennes, 1993, p. 747). À l'approche du seuil, la taille des amas augmente, d'où une divergence du temps q (p) nécessaire pour atteindre la limite x. Au-dessus du seuil (p > pc), la fourmi peut s'éloigner indéfiniment de son origine, car le système est percolant. Ainsi, á R2 (t) ñ croît linéairement avec le temps pour les valeurs élevées de t. Autrement dit, la fourmi peut progresser indéfiniment lorsqu'elle est parachutée sur le « continent ».
Lorsque la proportion de sites ouverts est inférieure au seuil, le déplacement carré moyen finit par se stabiliser dans le temps, alors qu'il croît linéairement lorsqu'elle est supérieure. La dépendance vis-à-vis de p, du temps caractéristique nécessaire à l'apparition du régime asymptotique est également mise en évidence. Plus la proportion de sites actifs est proche du seuil, plus la longueur de corrélation x est forte et par conséquent, plus le temps nécessaire à l'apparition du comportement limite est important. Sur la figure (a), la limite de á R2 (t) ñ est atteinte plus rapidement lorsque l'écart par rapport au seuil est de 0,11 au lieu de 0,06. Sur la figure (b), où p est supérieur au seuil, on note que le rapport á R2 (t) ñ / t augmente lorsque l'on s'éloigne de pc. Ainsi, la pente des résultats obtenus pour une valeur de (p – pc) de 0,09 est plus importante que pour 0,06 car la diffusion y est relativement plus facile.
Ce vecteur se compose de la somme des vecteurs unitaires ei orientés dans la direction du mouvement à la i-ième étape. Formellement ceci se traduit par (Havlin et Bunde, 1991, p. 101) : La distance moyenne parcourue à la date t est décrite par la racine carrée du déplacement carré moyen Ö á R2 (t) ñ, où la moyenne est réalisée pour l'ensemble des configurations possibles de marche aléatoire sur le réseau. À partir de (5), la distance carrée moyenne du déplacement peut s'écrire : Dans une marche aléatoire simple, les mouvements entre différentes étapes i et i' ne sont pas corrélés. Sachant que á ei · ei' ñ = di i', le déplacement carré moyen à la période t suit alors une loi de diffusion de Fick : De façon plus générale, pour une durée élémentaire t donnée et un nombre de pas j, le déplacement quadratique moyen est défini par (Lesne, 1996, p. 242) : où D = a2/ t est le coefficient de diffusion sur le réseau. À partir de (8), on retrouve la relation (7) dans le cas où t = 1.
á R2 (t) ñ ~ |
ì í î |
|
(12) |
D'w = |
|
(19) |
À la période t = 1, tous les arbres de la première colonne sont en feu (ex ante) puis s'éteignent (ex post). À la période t = 2, ce sont l'ensemble des arbres de la deuxième colonne qui s'enflamment puis s'éteignent. De la même façon, à la période t = x les arbres de la colonne x s'embrasent puis s'éteignent. Par conséquent, si le réseau est de taille L (colonnes), c'est-à-dire si le verger est formé par L rangées d'arbres, il faut L périodes pour atteindre le bord droit. Sachant de plus qu'à la période t = L + 1 il ne reste plus aucun arbre en feu, la durée de l'incendie est alors elle aussi de L périodes21
L'incendie débute sur les trois arbres de la première rangée puis se propage à travers la forêt. Sur le bosquet situé au milieu de la première colonne, le feu s'éteint dès la fin de la première période, car aucun arbre ne peut continuer le relais. Sur le bosquet en haut à gauche, c'est à la fin de la deuxième période que l'extinction se produit. Le troisième bosquet, situé en bas, percole sur la structure. L'incendie peut alors continuer son évolution. À la sixième période, le feu touche le bord droit de la forêt, mais l'incendie n'est pas terminé. Il faut attendre la période t = 8, pour que le dernier arbre en feu s'éteigne.
La forêt de départ est représentée sur la figure (a). Les cases noires correspondent aux arbres et les blanches sont des espaces vides. Le feu est mis aux 30 arbres du côté gauche. Dans le cadre de cette structure, le feu atteint le bord droit du réseau à la période t = 65 (figure (b)), alors que l'incendie s'arrête à la période t = 111 (figure (c)). Cette différence de temps illustre la complexité de la structure sur laquelle évolue le feu. L'incendie retourne vers les rangées d'arbres à gauche une fois qu'il a atteint la droite du réseau. Dans la situation de la figure 2.10, ce phénomène est particulièrement visible sur le haut du réseau, car le dernier arbre à s'être enflammé se situe à la dix-huitième colonne.
Lors de la progression de l'incendie, le feu se trouve parfois sur des arbres relativement plus isolés. Le nombre d'arbres vers lequel la flamme est transmise diminue en conséquence à la période suivante. Après un cheminement ralenti approximativement de la quarantième à la soixantième période, une accélération sensible apparaît pendant une dizaine de périodes. Ceci s'explique par un passage plus difficile, sorte de couloir où le feu progresse doucement, puis l'accession à une surface plus homogène qui facilite la transmission du feu.
Ce ralentissement s'explique par la présence des arbres vivaces (arbres n'ayant pas brûlés) n'appartenant pas à des amas qui touchent le bord gauche du réseau. Ces arbres sont situés sur des amas de taille finie dont aucun arbre n'a été initialement enflammé. De ce fait, ces arbres sont protégés de l'incendie et cette limite est quasiment atteinte à la période t = 80. Ainsi, les arbres qui potentiellement pouvaient s'enflammer ont, en grande majorité, déjà été brûlés.
Le front se définit ici, comme la distance maximale de pénétration de l'incendie par rapport au bord gauche. Cette valeur correspond au numéro de la rangée d'arbre la plus éloignée atteinte par le feu. Elle se distingue ainsi de la distance chimique qui comptabilise le nombre de pas minimum entre deux points et qui est supérieure ou égale à celle du front. À de nombreuses reprises au cours de la simulation, le front ne progresse pas vers la droite. Ce phénomène est visible, car l'évolution de la distance parcourue par le front montre une évolution horizontale sur la figure 2.13. Durant ces phases, le feu se dirige soit vers la gauche ou reste sur la même rangée qu'à la période précédente. Par conséquent, la distance atteinte (la plus grande) ne change pas et la variation du front est nulle. Au bout d'un certain nombre de périodes plus ou moins grand, le feu reprend ensuite sa progression vers la droite et la courbe d'évolution retrouve alors une pente non nulle. À la période t = 65 le feu percole car la cinquantième rangée d'arbres est atteinte. Le front est alors à son maximum : il a traversé la forêt. Au-delà de la soixante cinquième période, la durée pendant laquelle l'incendie est actif correspond au temps nécessaire pour que les bosquets en feux s'éteignent de façon autonome.
Au-dessus du seuil, la complexité du chemin le plus court pour percoler à travers la forêt diminue. Le délai entre le début de l'incendie et l'arrivée à droite atteint son minimum, lorsque la distance chimique entre les deux bords a une valeur identique à la taille du réseau (L = 50). Le feu avance alors sur une même ligne d'arbres tout au long de sa progression vers la droite. Pour des valeurs de p proches de l'unité (cas du verger), le délai avant percolation tend vers la cinquantaine de périodes.
Les résultats du modèle de propagation aux arbres du proches voisinages correspondent à la courbe (2). Ceux du modèle exigeant deux arbres enflammés sont représentés sur la courbe (3). La modification du degré de difficulté que l'incendie connaît lors de son évolution sur le réseau, s'observe en comparant les résultats du modèle basique (courbe (1)). Le modèle de la courbe (2) facilite la propagation de l'incendie, alors que celui de la courbe (3) la complique. Dans une forêt avec une faible proportion d'arbres, selon les règles de propagation retenues, l'incendie peut ainsi avoir un profil différent.