© 2001 - Stéphane PAJOT [ Percolation et économie ]
Chapitre 2 Notions et modèles avancés en percolation
Dans le premier chapitre de ce travail, les aspects fondamentaux de la percolation, les modèles de base et leurs
principales propriétés ont été exposés. Par delà ces aspects élémentaires, le concept de percolation peut être étendu
dans plusieurs directions. La première direction d'approfondissement concerne les processus dynamiques appliqués
sur la structure en réseau, alors considérée comme un support donné (section 2.1). Le
deuxième approfondissement porte sur l'analyse des aspects dynamiques de la structure elle-même
(section 2.2). Une troisième avancée concerne la modification du modèle basique
(section 2.3). Enfin, il existe également d'autres modèles de percolation qui s'écartent
sensiblement des situations de base (section 2.4).
- 1
- Pour une présentation plus précise de la
conduction dans les modèles de percolation de liens, de sites ou corrélée, voir
Kirkpatrick (1973).
- 2
- Sur les différentes sortes de liens, voir
p. ??, p. ?? et
p. ??.
- 3
- Voir (7), p. ??.
- 4
- Voir
p. ??.
- 5
- Sur les lois de Kirchhoff, voir notamment : Havlin et Bunde (1991), p. 103, ainsi que Kirkpatrick
(1973), p. 578.
- 6
- L'intensité du courant extérieur traversant les sites n'est différente de zéro que
pour les éléments situés sur les bornes extérieures de l'échantillon.
- 7
- Le même
problème peut s'envisager en considérant que l'aléa porte sur l'activité des liens.
- 8
- Traditionnellement, un mouvement se caractérise à un temps t par le
déplacement R(t) réalisé depuis l'origine. La moyenne de R(t) étant nulle, il est alors
préférable d'étudier son carré R2 (t) (De Gennes, 1993, p. 747).
- 9
- Cette situation s'illustre facilement en considérant que la
fourmi choisit une direction en allant sur un des liens qui lui sont contigus, sans
savoir si le site vers lequel elle se dirige est ouvert ou fermé.
- 10
- Un phénomène isotrope se caractérise, au contraire d'un
phénomène anisotrope, par des propriétés physiques identiques dans toutes les
directions.
- 11
- C'est avec les chocs successifs
appliqués par les molécules d'eau en agitation thermique que R. BROWN justifia
l'aspect aléatoire du déplacement du grain de pollen. En fait, la nature du mouvement
s'explique par la différence de résolution entre l'échelle a d'observation de la
particule (relativement importante pour que le grain de pollen soit considéré ponctuel),
et l'échelle moléculaire l « a où les mouvements des molécules d'eau sont
déterministes. Ainsi, à l'échelle a, il est impossible de connaître et d'intégrer les
mécanismes microscopiques où les molécules d'eau rentrent en contact avec le grain de
pollen dont la taille est bien plus élevée. Ces effets microscopiques sont alors autant
d'influences stochastiques qui se répercutent sur les caractéristiques statistiques du
mouvement du grain de pollen (Lesne, 1996, pp. 240-241).
- 12
- Sur les
caractéristiques du mouvement brownien, voir p. ??.
- 13
- Pour un processus stationnaire, la propriété á R2 (t + t0)
ñ £ 2 á R2 (t) ñ + 2 á R2 (t0) ñ est
vérifiée pour tout t et t0 réels, d'où |t + t0|g £ 2|t|g +
2|t0|g, ce qui implique 0 £ g £ 2 (Lesne, 1996, p. 245).
- 14
- La notation á R2 (t) ñ =
t2/(2 + q) est aussi parfois utilisée, (2 + q) ayant la même interprétation que Dw. Voir par exemple
Gefen et alii (1983), p. 77, ainsi que Aharony (1984), p. 938.
- 15
- voir
§ 1.4.3, p. ??.
- 16
- La relation d'Einstein en question est : Dw = Df – d + 2 + µ = Df
+ z, où Dw est l'exposant de diffusion de la marche aléatoire, Df est la
dimension fractale de l'amas infini, d est la dimension du système, µ est
l'exposant reliant la conductivité à la dimension linéaire du réseau (S ~
L– µ) et z celui de la résistance r à la dimension linéaire du réseau
(S ~ Lz) (Havlin et Bunde, 1991, pp. 102-104).
- 17
- Suivant la notation á R2 (t) ñ =
t2/(2 + q), la relation se transforme de façon équivalente en : q = (µ – b)/n. À partir des
estimations des exposants universels µ, b et n, la valeur approximative de q en dimension un
serait de l'ordre de 0, en dimension deux de (0,8), en dimension trois de (1,5) et en dimension quatre de (2,7) (Gefen
et alii, 1983, p. 77).
- 18
- Il est justifié de façon expérimentale et théorique qu'au seuil de percolation, le rayon de
giration rs et la masse s des amas de taille s suivent la loi d'échelle s ~ rsDf (Lesne,
1996, p. 324). La valeur de Df s'assimile à une dimension de masse des amas finis et concorde avec la
dimension fractale de l'amas infini Df (voir § 1.4.3, p. ??).
- 19
- Voir § 1.4.2.
- 20
- Sur les feux de forêt, voir Lesne (1996), p. 318 et
pp. 333-334, ainsi que Stauffer et Aharony (1992), pp. 5-8.
- 21
- L'hypothèse retenue ici est qu'un arbre brûle en une
période : il s'enflamme ex ante, puis s'éteint ex post. Dans ce cas, la
durée de l'incendie est de L périodes. Dans l'hypothèse où un arbre s'enflamme à une
période puis s'éteint à la période suivante, l'incendie dure L + 1 périodes.
- 22
- Voir § 1.4.3.
- 23
- Sur la modification de l'entourage d'un site, voir
le § 2.3.1, p. ??.
- 24
- Pour une présentation plus approfondie des
phénomènes de transports dans des matériaux hétérogènes, voir Klafter J., Rubin R.J., Shlesinger M.F. (eds.), (1986),
Transport and Relaxation in Random Materials, Singapore, World Scientific Publishing, 15-17 October 1985,
Maryland, p. 421.
- 25
- Sur le modèle d'épidémie, voir le § 2.2.3.
- 26
- Sur la
notion d'effet de taille finie, voir § 1.3.2.
- 27
- Cette méthode, tirage d'un nombre aléatoire entre 0 et 1 comparé avec la
valeur de p (avec 0 < p £ 1), permet de respecter de façon élémentaire,
l'instruction (ii) de la règle de croissance : « rendre ce site actif avec la probabilité
p ou le neutraliser avec la probabilité (1 – p) ». Un chiffre tiré au sort entre 0 et 1
selon une loi uniforme, a p % de chance d'être inférieur à p et (1 – p) % d'être
supérieur. Dans ces conditions, si la valeur du chiffre aléatoire est inférieure à p,
il est activé sinon il est neutralisé.
- 28
- Sur cette extension du
modèle d'épidémie, voir Bunde et Havlin, 1991, pp. 77-79.
- 29
- De façon plus précise, pc ~ 0,593. Voir tableau 1.5,
p. ??.
- 30
- Voir § 2.2.2,
p. ??.
- 31
- La viscosité s'associe à la résistance d'un liquide à
l'écoulement, alors que la capillarité agit ici en faveur du flux.
- 32
- Sur le modèle d'invasion avec piégeage,
voir Wilkinson et Willemsen (1983), ainsi que Kesten (1987), pp. 1254-1257.
- 33
- Voir tableau 1.5,
p. ??.
- 34
- Voir
§ 2.1.3, et principalement la figure 2.15, p. ??.
- 35
- Voir « Isotropie et anisotropie », in Encyclopædia
Universalis, Thesaurus-Index, Paris, 1990, pp. 1768-1769.
- 36
- Voir tableau 1.5,
p. ??.
- 37
- Pour des applications du modèle d'Ising, voir, Föllmer
(1974) sur un modèle économique d'échange, et Callen et Shapero (1974) sur un modèle
d'imitation des comportements dans une société.
- 38
- De cette manière, la
configuration de la figure 2.40 se traduit par : (+, +, –, –, +, +, –, +).
- 39
- Pour une expérimentation numérique du modèle d'Ising
en langage Mathematica, voir Gaylord et Wellin (1995), pp. 75-81.
- 40
- La solution
de ce modèle est triviale puisque le nombre de voisins d'un site ne peut pas être négatif.
- 41
- Là encore, la solution de ce modèle est triviale
puisque le nombre de voisins d'un site ne peut dépasser la coordinence z du réseau.
- 42
- Sur les exposants critiques dans les modèles de
percolation-éviction et percolation-diffusion, voir Chaves et Koiller (1995), p. 277 ;
ainsi que Medeiros et Chaves (1997), p. 609.
- 43
- Pour une
distribution uniforme comme dans l'exemple de la figure 2.41, la probabilité
d'activité d'un site est : ps = s2 – rsc/s2 – s1 (Vidales et alii, 1995,
p. 23).
- 44
- Sur la
notion de ligne de transition, voir figure 1.27,
p. ??.
- 45
- Le terme « réseau » est parfois employé pour désigner les graphes
irréguliers et le terme « treillis » pour qualifier les structures régulières. De cette
manière, on parle par exemple de treillis carré et non de réseau carré.
Dans le cadre de ce travail, le terme de réseau s'associe indifféremment aux graphes
réguliers et irréguliers.
- 46
- La tesselation d'un
plan se fait par des polygones de Voronoï alors qu'en volume elle se réalise avec des cellules de
Wigner-Seitz (Clerc et alii 1983, p. 67).
- 47
- Voir § 1.4.2.
- 48
- Voir équation (16),
p. ??.
- 49
- Sur la tesselation, voir
§ 2.3.4, p. ??.
- 50
- Pour la démonstration de cette propriété, voir Grimmett
(1989), p. 252-256.
- 51
- L'article fondateur est : Hammersley J.M., Welsh D.J.A., (1965), «
First-Passage Percolation, Subadditive Processes, Stochastic Networks, and Generalized
Renewal Theory », in Neyman J., Le Cam L. (eds.), Bernouilli, 1713 ; Bayes, 1763 ;
Laplace, 1813 - Anniversary Volume, Proceedings of an International Research Seminar,
Statistical Laboratory, University of California, Berkeley, 1963, Berlin,
Springer-Verlag, pp. 61-110.
- 52
- En anglais, passage time pour «
temps de passage ».
- 53
- En anglais,
first-passage time pour « temps de premier passage ».
- 54
- Pour une comparaison
approfondie des modèles d'Eden et de premier passage de percolation, voir Kesten et Schonmann (1994).
- 55
- Sur le modèle d'invasion, voir § 2.2.4.
- 56
- Sur la structure du
front en trois dimensions, voir Rosso et alii (1986), ainsi que : Gouyet (1992),
pp. 124-125.
- 57
- Sur la notion de paire adaptée de graphes, voir Kesten (1982),
p. 16-21.
- 58
- Pour mémoire, la loi
d'échelle correspondante est : x(p) » |p – pc|– n (équation (15),
p. ??).